Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于B點，與y軸交于C點，拋物線經過B、C兩點，與y軸的另一個交點為點A，P為線段BC上一個動點不與點B、點C重合．

求拋物線的解析式；

設拋物線的對稱軸與x軸交于點D，連結CD、PD，當為直角三角形時，求點P的坐標；

過點C作軸，交拋物線于點E，如圖2，求的最小值．

Answer 1

【答案】拋物線的解析式為；點P的坐標為或；的最小值為10．

【解析】

利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點B、C的坐標，根據點B、C的坐標，再利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

根據拋物線的解析式可得出拋物線的對稱軸及點D的坐標，設點P的坐標為過點P作軸于Q，則點，分及兩種情況考慮：當時，易證∽，利用相似三角形的性質即可求出點P的坐標；當時，通過解直角三角形可求出DQ、PQ的長度，進而可得出點P的坐標此問得解；

連接AE，交BC于點F，在的內部作，BH與AE交于點H，過點P作，垂足為R，連接PE，則，進而可得出，利用拋物線的對稱性可得出，進而可得出，利用點到直線之間垂線段最短可得出當且僅當點P與點F重合時，等號成立，利用勾股定理及解直角三角形可求出AE、AH的長度，代入即可找出的最小值，進而可得出的最小值．

直線與x軸交于B點，與y軸交于C點，

點B的坐標為，點C的坐標為

拋物線經過B、C兩點，

，解得：，

拋物線的解析式為．

拋物線的解析式為，

拋物線的對稱軸為直線，

點D的坐標為．

設點P的坐標為過點P作軸于Q，則點．

當時，如圖3，

，，

，

∽，

，即，

解得：，

點P的坐標為；

當時，如圖4，

，，

，

，

，，

，，

，

點P的坐標為

綜上所述，點P的坐標為或

連接AE，交BC于點F，在的內部作，BH與AE交于點H，過點P作，垂足為R，連接PE，如圖5所示．

，

，

．

點C與點E、點A與點B均關于直線對稱，

，，

，

，當且僅當點P與點F重合時，等號成立．

，，對稱軸為直線，

，且點A的坐標為，

，

，即的最小值為5，

的最小值為10．