Question

【題目】問題探究：

如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．

（1）證明：AD=BE；

（2）求∠AEB的度數．

問題變式：

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請求出∠AEB的度數以及判斷線段CM、AE、BE之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】探究展示：（1）證明見解析; （2）600.

拓展延伸：（1）∠AEB=900 ;（2）AE= 2CM+BE,理由見解析.

【解析】試題分析：問題探究：（1）先證出∠ACD=∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根據全等三角形證出AD=BE；

（2）∠ADC=∠BEC，求出∠ADC=120°，得出∠BEC=120°，從而證出∠AEB=60°；

問題變式：證明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC、AD=BE，從而得到∠AEB的度數，再由等腰直角三角形的性質得到DM=ME=CM即可．

試題解析：問題探究：

（1） ∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC、DC=EC，∴∠ACD=∠BCE，∴△CDA≌△CEB, ∴AD=BE

（2）∵△CDA≌△CEB,∴∠CEB=∠CDA=1200，又∠CED=600，∴∠AEB=1200－600=600.

問題變式：

（1）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,

∴AC=BC, CD=CE,

∠ACB-∠DCB=∠DCE－∠DCB,

即∠ACD= ∠BCE

∴△ACD≌△BCE

∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.

∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900

（2）AE= 2CM+BE

在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，

∴CM= DM= ME，∴DE=2CM.

∴AE=DE+AD=2CM+BE

∴AE= 2CM+BE