Question

如圖，∠C=90°，點A、B在∠C的兩邊上，CA=30，CB=20，連接AB．點P從點B出發，以每秒4個單位長度的速度沿BC方向運動，到點C停止．當點P與B、C兩點不重合時，作PD丄BC交AB于D，作DE丄AC于E，F為射線CB上一點，且∠CEF=∠ABC．設點P的運動時間為x（秒）．
（1）用含有x的代數式表示CE的長．
（2）求點F與點B重合時x的值．
（3）當點F在線段CB上時，設四邊形DECP與四邊形DEFB重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．求y與x之間的函數關系式．
（4）當x為某個值時，沿PD將以D、E、F、B為頂點的四邊形剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形．請直接寫出所有符合上述條件的x值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明△ABC∽△DBP∽△FEC，即可得出比例式進而得出表示CE的長；
（2）根據當點F與點B重合時，FC=BC，即可得出答案；
（3）首先證明Rt△DOE∽Rt△CEF，得出，即可得出y與x之間的函數關系式；
（4）根據三角形邊長相等得出答案．
解答：解：（1）∵PD⊥BC，DE⊥AC，且∠C=90°，
∴四邊形DECP為矩形，
∴DE=PC，DP=EC，
又∵∠CEF=∠ABC，
∴△ABC∽△DBP∽△FEC，
∴，
∵CA=30，CB=20，BP=4x，
∴，
∴FC=9x，DP=EC=6x．

（2）當點F與點B重合時，FC=BC，
∴FC=BC，
∴9x=20，
解得：x=，

（3）當點F與點P重合時，4x+9x=20，
解得x=，
∵FP=BC-FC-PB=20-9x-4x=20-13x，
∵DE=PC=BC-PB=20-4x，
∴S=（DE+FP）•DP•0.5=（20-4x+20-13x）•6x×0.5=3x（40-17x）=120x-51x²；
當＜x≤時，
矩形DECP中DP∥EC，
∴∠DOE=∠FEC，
∴Rt△DOE∽Rt△CEF，
∴，
∴，
∴DO=（20-4x），
∴S=DO•DE=×（20-4x）（20-4x）=（5-x）²；

（4）①如圖③，當PD=PF時，6x=20-13x，解得：x=；△B′DE為拼成的三角形；
②如圖④當點F與點P重合時，4x+9x=20，解得：x=；△BDC為拼成的三角形；
③如圖⑤，當DE=PB，20-4x=4x，解得：x=，△DPF為拼成的三角形．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及勾股定理和矩形的性質與判定，根據題意得出△ABC∽△DBP∽△FEC以及Rt△DOE∽Rt△CEF是解決問題的關鍵．