Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4、點E在邊AB上，且AE=1．點F為邊CD上一動點，且DF=m，以A為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）連接EF，求四邊形AEFD的面積s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若直線EF將正方形ABCD分成面積相等的兩部分：求此時直線EF對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在正方形ABCD的邊上是否存在點P，使△PCE是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖所示：
連接EF，根據(jù)梯形面積的求法s=0.5×（AE+DF）×AD，
可得：s=2m+2；

（2）正方形的面積為16，因為直線EF將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，
所以梯形面積為s=8，所以m=3，
所以F的坐標(biāo)為（3，4），又因為E的坐標(biāo)（1，0），
設(shè)EF的解析式為y=kx+b，將E和F的坐標(biāo)代入可得
y=2x-2；

（3）CE長為5，
當(dāng)C為頂點時，CP長為5，P在AD上，根據(jù)勾股定理可知AP=1，
所以P的坐標(biāo)為（0，1），
當(dāng)E為頂點時，PE=5，不存在點P，
當(dāng)P為頂點時，P在CB上，CP=PE，
設(shè)BP=x，根據(jù)勾股定理列出等量關(guān)系式：（4-x）²=9+x²，
解得x=0.875，所以P的坐標(biāo)（4，0.875），
P在AD上，同理可以求的AP=3.875，
所以P的坐標(biāo)為（0，3.875），
所以P的坐標(biāo)為（0，1），（4，0.875），（0，3.875）．
分析：（1）根據(jù)梯形面積的求法s=0.5×（AE+DF）×AD，列出s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)題意算出DF的長度，然后即可求出F的坐標(biāo)，已知E的坐標(biāo)，即可求出直線EF對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分別取三個點作為定點，然后根據(jù)勾股定理和等腰三角形的兩個腰相等來判斷是否存在符合題意的P的坐標(biāo)．
點評：本題主要考查對于一次函數(shù)的應(yīng)用，還考查到了對與等腰三角形性質(zhì)的掌握和勾股定理的應(yīng)用．