Question

【題目】問題背景：在正方形ABCD的外側，作△ADE和△DCF，連結AF、BE．

特例探究：如圖①，若△ADE與△DCF均為等邊三角形，試判斷線段AF與BE的數量關系和位置關系，并說明理由；

拓展應用：如圖②，在△ADE與△DCF中，AE=DF，ED=FC，且BE=4，則四邊形ABFE的面積為 ．

Answer 1

【答案】(1) 特例探究：AF=BE，AF⊥BE．理由見解析；（2）拓展應用：8.

【解析】

試題分析: 特例探究：易證△ADE≌△DCF，即可證明AF與BE的數量關系是：AF=BE，位置關系是：AF⊥BE；

拓展應用：首先證得△ADE≌△CDF，由全等三角形的性質可得∠DAE=∠CDF，易得△BAE≌△ADF，可得AE=AF，同特例探究可得AF⊥BE，易得四邊形ABFE的面積為：．

試題解析：特例探究：AF=BE，AF⊥BE．

∵四邊形ABCD為正方形，△ADE與△DCF均為等邊三角形，

∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC，AE=AD=CD=DF，∠DAE=∠CDF，

∴∠BAD+∠DAE=∠ADC+∠CDF，即∠BAE=∠ADF，

在△ABE與△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（SAS），

∴AF=BE，∠ABE=∠DAF，

∵∠DAF+∠BAF=90°，

∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴AF⊥BE；

拓展應用：在△ADE與△CDF中，

∵，

∴△ADE≌△CDF（SSS），

∴∠DAE=∠CDF，∠ADF=∠ADC+∠CDF=90°+∠CDF，∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+∠EAD，

∴∠ADF=∠BAE，

在△ABE與△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（SAS），

∴AF=BE，∠ABE=∠DAF，

∵∠DAF+∠BAF=90°，

∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴AF⊥BE，

∴S四邊形ABFE==×4×4=8．