Question

如圖，點C在以AB為直徑的半圓O上，延長BC到點D，使得CD＝BC，過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F，點G為DF的中點，連接CG、OF、FB．
(1)(5分)求證：CG是⊙O的切線；
(2)(5分)若△AFB的面積是△DCG的面積的2倍，求證：OF∥BC．

Answer 1

證明見解析

證明：(1)如圖，連接OC，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90⁰。
∵在Rt△DCF中，DG＝FG，∴CG＝DG＝FG。 
∴∠CFG＝∠FCG。
又∵∠CFG＝∠AFE，∴∠FCG＝∠AFE。   
∵OA＝OC，∴∠EAF＝∠OCA。
又∵DE⊥AB，∴∠EAF＋∠AFE＝90°。 ∴∠OCA＋∠FCG＝90°，即∠GCO=90°。
又∵OC是⊙O的半徑，∴CG為⊙O的切線。
(2)∵DG＝FG，∴。
∵DC＝CB，∴，∴。
又∵，∴。∴AF＝FC。
又∵OA＝OB，∴OF是△ABC的中位線。∴OF∥BC。
（1）連接OC．欲證CG是⊙O的切線，只需證明∠CGO=90°，即CG⊥OC。
（2）根據直角三角形ABC、直角三角形DCF的面積公式，以及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求得AC=2AF；然后根據三角形中位線的判定和性質證得結論。