Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC中，BD，CE分別是兩腰上的中線．

（1）求證：BD=CE；
（2）設BD與CE相交于點O，點M，N分別為線段BO和CO的中點，當△ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等時，判斷四邊形DEMN的形狀，無需說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得，AB=AC，

∵BD，CE分別是兩腰上的中線，

∴AD= AC，AE= AB，

∴AD=AE，

在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE（ASA）．

∴BD=CE；

（2）

四邊形DEMN是正方形，

證明：∵E、D分別是AB、AC的中點，

∴AE= AB，AD= AC，ED是△ABC的中位線，

∴ED∥BC，ED= BC，

∵點M、N分別為線段BO和CO中點，

∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位線，

∴MN∥BC，MN= BC，

∴ED∥MN，ED=MN，

∴四邊形EDNM是平行四邊形，

由（1）知BD=CE，

又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，

∴DM=EN，

∴四邊形EDNM是矩形，

在△BDC與△CEB中， ，

∴△BDC≌△CEB，

∴∠BCE=∠CBD，

∴OB=OC，

∵△ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等，

∴O到BC的距離= BC，

∴BD⊥CE，

∴四邊形DEMN是正方形．

【解析】（1）根據已知條件得到AD=AE，根據全等三角形的性質即可得到結論；（2）根據三角形中位線的性質得到ED∥BC，ED= BC，MN∥BC，MN= BC，等量代換得到ED∥MN，ED=MN，推出四邊形EDNM是平行四邊形，（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四邊形EDNM是矩形，根據全等三角形的性質得到OB=OC，由三角形的重心的性質得到O到BC的距離= BC，根據直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)，還要掌握正方形的判定方法(先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角)的相關知識才是答題的關鍵．