Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系內，已知直線l1經過原點O 及A（2，2 ）兩點，將直線l1向右平移4個單位后得到直線l2 ， 直線l2與x 軸交于點B．
（1）求直線l2的函數表達式；
（2）作∠AOB 的平分線交直線l2于點C，連接AC．求證：四邊形OACB是菱形；
（3）設點P 是直線l2上一點，以P 為圓心，PB 為半徑作⊙P，當⊙P 與直線l1相切時，請求出圓心P 點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點A作AD⊥x軸于點D，設直線l2與y軸交于點E，（如圖1）

∵A（2， ），

∴AD= ，OD=2，

∵l2∥l1，

∴∠OBE=∠AOD，

∴tan∠OBE=tan∠AOD= ，

∵OB=4，

∴OE= OB= ，

∴B（4，0）、E（0， ），

設直線l2為y=kx+b，則 ，

解得： ，

∴直線l2的函數表達式為 ．

（2）證明：∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC，

∵l2∥l1，

∴∠AOC=∠BCO，

∴∠BOC=∠BCO，

∴BC=OB=4，

過點C作CG⊥x軸于點G，（如圖2）

∵∠CBG=∠AOD=60°，

∴CG= ，BG= ，

∴OG=OB+BG=4+2=6，

∴C（6， ），

∵A（2， ），

∴AC∥OB，

∵BC∥OA，

∴四邊形OACB是平行四邊形，

∵OB=BC，

∴四邊形OACB是菱形．

（3）解：當點P在x軸上方時，

過點P作PM⊥l1于點M，過點B作BN⊥l1于點N，過點PQ⊥x軸于點Q，（如圖3）

則 PB=PM=BN=OBsin∠BOM=4sin60°= ，

∴PQ=PBsin∠PBQ= sin60°=3，

BQ=PBcos∠PBQ= cos60°= ，

∴OQ=OB+BQ=4+ ，

∴P（4+ ，3），

當點P在x軸下方時，同理可得P（4﹣ ，﹣3），

∴點P的坐標為（4+ ，3）或P（4﹣ ，﹣3）

【解析】（1）過點A作AD⊥x軸于點D，設直線l2與y軸交于點E，由A的坐標可知AD與OD的長度，進而求出E的坐標，利用待定系數法即可求出直線l2的解析式．（2）由角平分線的性質可知：∠AOC=∠BOC，過點C作CG⊥x軸于點G，由于l2∥l1 ， 所以∠AOC=∠BCO，從而可知：∠BOC=∠BCO，過點C作CG⊥x軸于點G，求出A、C的坐標可知兩點的縱坐標相等，從而可知AC∥OB，由于OB=OC，所以四邊形OACB是菱形；（3）由于點P的位置不確定，故需要分兩種情況討論，一是點P在x軸上方，二是點P在x軸下方，然后根據切線的性質即可求出P的坐標．