Question

已知一元二次方程x²＋ax＋a－2＝0．
（1）求證：不論a為何實數，此方程總有兩個不相等的實數根；
（2）設a＜0，當二次函數y＝x²＋ax＋a－2的圖象與x軸的兩個交點的距離為時，求出此二次函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，若此二次函數圖象與x軸交于A、B兩點，在函數圖象上是否存在點P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

（1）因為△＝a²－4(a－2)＝(a－2)²＋4＞0，
所以不論a為何實數，此方程總有兩個不相等的實數根．
（2）設x₁、x₂是y＝x²＋ax＋a－2＝0的兩個根，則x₁＋x₂＝－a，x₁•x₂＝a－2，因兩交點的距離是，
所以|x₁－x₂|＝＝．即：(x₁－x₂)²＝13
變形為：(x₁＋x₂)²－4x₁•x₂＝13所以：(－a)²－4(a－2)＝13
整理得：(a－5)(a＋1)＝0解方程得：a＝5或－1
又因為：a＜0，所以：a＝－1
所以：此二次函數的解析式為y＝x²－x－3．
（3）設點P的坐標為(x₀，y₀)，因為函數圖象與x軸的兩個交點間的距離等于，
所以：AB＝所以：S_△PAB＝AB•|y₀|＝
所以：＝
即：|y₀|＝3，則y₀＝±3
當y₀＝3時，x₀²－x₀－3＝3，即(x₀－3)(x₀＋2)＝0
解此方程得：x₀＝－2或3
當y₀＝－2時，x₀²－x₀－3＝－3，即x₀(x₀－1)＝0
解此方程得：x₀＝0或1
綜上所述，所以存在這樣的P點，P點坐標是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3)．解析:
（1）判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b²-4ac的值的符號就可以了，（2）根據二次函數圖象與x軸的兩個交點的距離公式解答即可．(3)是二次函數綜合應用問題和三角形的綜合應用