Question

如圖，已知⊙O的半徑為1，PQ是⊙O的直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關于PQ對稱，其中第一個△A₁B₁C₁的頂點A₁與點P重合，第二個△A₂B₂C₂的頂點A₂是B₁C₁與PQ的交點，…，最后一個△A_nB_nC_n的頂點B_n、C_n在圓上．如圖1，當n=1時，正三角形的邊長a₁=

 

；如圖2，當n=2時，正三角形的邊長a₂=

 

；如圖3，正三角形的邊長a_n=

 

（用含n的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）設PQ與B₁C₁交于點D，連接OB₁，由特殊角的三角函數值可得，OD=A₁D-OA₁=

3

2

a₁-1，再由勾股定理即可求出a₁的值；
（2）設PQ與B₂C₂交于點E，連接OB₂，由特殊角的三角函數值可得OE=2A₁A₂-OA₁=

3

a₂-1，再由Rt△OB₂E勾股定理即可求出a₂的值；
（3）設PQ與B_nC_n交于點F，連接OBn，則OF=

3

2

na_n-1，在Rt△OB_nF中利用勾股定理可得，a_n=

4 3 n

3n2+1

．

解答：解：（1）設PQ與B₁C₁交于點D，連接OB₁，則OD=A₁D-OA₁=

3

2

a₁-1，
在Rt△OB₁D中，OB₁²=B₁D²+OD²，
即1²=（

1

2

a₁）²+（

3

2

a₁-1）²，
解得，a₁=

3

；

（2）設PQ與B₂C₂交于點E，連接OB₂，則OE=2A₁A₂-OA₁=

3

a₂-1，
在Rt△OB₂E中，OB₂²=B₂E²+OE²，
即1²=（

1

2

a₂）²+（

3

a₂-1）²，
解得，a₂=

8 3

13

；

（3）設PQ與B_nC_n交于點F，連接OBn，則OF=

3

2

na_n-1，
在Rt△OB_nF中，OB_n²=B_nF²+OF²，
即1²=（

1

2

a_n）²+（

3

2

na_n-1）²，
解得，a_n=

4 3 n

3n2+1

．

故答案為：

3

，

8 3

13

，

4 3 n

3n2+1

．

點評：本題考查的是正多邊形與圓及特殊角的三角函數值，根據題意作出輔助線，找出規律是解答此題的關鍵．