Question

按圖所示的流程圖，輸入一個數據x，根據y與x的關系式輸出一個數據y，這樣可以將一組數據變換成另一組新的數據，使任意一組都在20～100（含20和100）之間的數據，變換成一組新數據后能滿足下列兩個要求：
①新數據都在60～100（含60和100）之間；
②新數據之間的大小關系與原數據之間的大小關系一致，即原數據較大的對應的新數據也較大。

（1）若y與x的關系式是y=x+p（100-x），請說明：當p=時，這種變換滿足上述兩個要求。
（2）若按關系式y=a（x-h）²+k（a>0）將數據進行變換，請寫出一個滿足上述要求的這種關系式。（不要求對關系式符合題意作說明，但要寫出關系式得出的主要過程）。

Answer 1

解：（1）當P=時，y=x+（100-x），即y=x+50
所以，y隨著x的增大而增大，即p=時，滿足條件②
當x=20時，y=60，當x=l00時，y=×100+50=100
而原數據都在20～100（含20和100）之間，所以新數據都在60～100（含60和100）之間，即滿足條件①
綜上可知，當p=時，這種變換滿足要求；
（2）若所給出的關系式滿足：①h≤20；②若x=20，100時，y的對應值m，n能落在60～100（含60和100）之間，則這樣的關系式都符合要求。
如取h=20，y=a（x-20）²+k
∵a>0
∴當20≤x≤100時，y隨著x的增大而增大
令x=20，y=60，得k=60  ①
令x=100，y=100，得a×80²+k=100  ②
由上面兩個式子解得
所以，y=（x-20）²+60（答案不唯一）。