Question

按如圖所示的流程，輸入一個數(shù)據(jù)x，根據(jù)y與x的關(guān)系式就輸出一個數(shù)據(jù)y，這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù)，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的數(shù)據(jù)，變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿足下列兩個要求：
（Ⅰ）新數(shù)據(jù)都在60～100（含60和100）之間；
（Ⅱ）新數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系與原數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系一致，即原數(shù)據(jù)大的對應(yīng)的新數(shù)據(jù)也較大．
（1）若y與x的關(guān)系是y=x+p（100-x），請說明：當(dāng)p=

1

2

時，這種變換滿足上述兩個要求；
（2）若按關(guān)系式y(tǒng)=a（x-h）²+k（a＞0）將數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，請寫出一個滿足上述要求的這種關(guān)系式．（不要求對關(guān)系式符合題意作說明，但要寫出關(guān)系式得出的主要過程）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)P=

1

2

時，y=

1

2

x+50，觀察這個一次函數(shù)可知：斜率＞0，則y隨x的增大而增大，因此符合條件Ⅱ；因為20≤x≤100，即20≤2y-100≤100，可得60≤y≤100，因此也符合Ⅰ的條件．
（2）本題答案不唯一．可根據(jù)拋物線的開口方向和拋物線的對稱軸來說明．

解答：解：（1）當(dāng)P=

1

2

時，y=x+

1

2

（100-x），
即y=

1

2

x+50．
∴y隨著x的增大而增大，
即P=

1

2

時，滿足條件（Ⅱ）
又當(dāng)x=20時，y=

1

2

×20+50=60．
而原數(shù)據(jù)都在20～100之間，
所以新數(shù)據(jù)都在60～100之間，即滿足條件（Ⅰ），
綜上可知，當(dāng)P=

1

2

時，這種變換滿足要求．

（2）本題是開放性問題，答案不唯一．
若所給出的關(guān)系式滿足：
（a）h≤20；
（b）若x=20，100時，y的對應(yīng)值m，n能落在60～100之間，則這樣的關(guān)系式都符合要求．
如取h=20，y=a（x-20）²+k，
∵a＞0，
∴當(dāng)20≤x≤100時，y隨著x的增大而增大，
令x=20，y=60，得k=60 ①
令x=100，y=100，得a×80²+k=100②
由①②解得

a= 1 160 k=60

，
∴y=

1

160

（x-20）²+60．

點評：本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是弄清題目給出的閱讀材料的含義．