Question

【題目】綜合與實踐

操作發現：

如圖1和圖2，已知點為正方形的邊和上的一個動點（點，，除外），作射線，作于點，于點，于點．

（1）如圖1，當點在上（點，除外）運動時，求證：；

　　　　　　　　

（2）如圖2，當點在上（點，除外）運動時，請直接寫出線段，，之間的數量關系；

拓廣探索：

（3）在（1）的條件下，找出與相等的線段，并說明理由；

（4）如圖3，若點為矩形的邊上一點，作射線，作于點，于點，于點．若，，則_______．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）；理由見解析；（4）．

【解析】

(1)作DH∥BG交CF延長線于點H，得到四邊形DGFH為矩形，證得CF+ DG =CH，設法證得，得到AE=CH，即可證得結論；

(2)依照(1)的方法即可得到CF = AE + DG；

(3)根據(1)的方法證得，得到AE=BF，BE=CF，利用(1)的結論可求得EF= DG；

(4)作DH∥BG交CF延長線于點H，得到四邊形DGFH為矩形，得到 DG= CH- CF，根據已知條件易證得，可求得，，由，可得到，求得，即可求得結論．

(1)過D作DH∥BG交CF延長線于點H，如圖，

∵CF⊥BG，DG⊥BG，

∴四邊形DGFH為矩形，

∴DG=HF，

∴CF+ DG= CF+ HF =CH，

∵四邊形ABCD為正方形，且AE⊥BG，

∴AB=CD，∠ABC=∠BCD=∠AEB=90，

∴∠5+∠1=90，∠1+∠2=90，∠2+∠3=90，∠3+∠4=90，

∴∠5=∠4，

在和中，

，

∴，

∴AE=CH，

∴AE= CF+ DG；

(2)CF = AE + DG；

依照(1)的方法，如圖，即可證明CF = AE + DG；

(3)EF= DG，理由如下，如圖：

由(1)得：∠5+∠1=90，∠1+∠2=90，

∴∠5=∠2，

在和中，

，

∴，

∴AE=BF，BE=CF，

∴EF=BF-BE=AE-CF，

∵AE= CF+ DG，

∴EF= DG；

(4)過D作DH∥BG交CF延長線于點H，如圖，

∵CF⊥BG，DG⊥BG，

∴四邊形DGFH為矩形，

∴DG=HF，

∴DG= CH- CF，

∵四邊形ABCD為矩形，AE⊥BG，CD=2BE=6，

∴AB=CD=2BE =6，BE =3，∠ABC=∠BCD=∠AEB=90，

∴，

∴，

∵∠ABC=∠BCD=∠AEB=90，

∴∠5+∠1=90，∠1+∠2=90，∠2+∠3=90，∠3+∠4=90，

∴∠5=∠4=∠2=30，

∴，，

∵，

∴，

∵，即，

∴，

∴．