Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O直徑，AC是⊙O弦，點D是的中點，弦DE⊥AB，垂足為F，DE交AC于點G．

（1）若過點E作⊙O的切線ME，交AC的延長線于點M（請補完整圖形），試問：ME＝MG是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（2）在滿足第（2）問的條件下，已知AF＝3，FB＝，求AG與GM的比．

Answer 1

【答案】（1）ME＝MG成立，見解析；（2）AG與GM的比為．

【解析】

（1）連接OE，并延長EO交⊙O于N，連接BC，DN；由于ME是⊙O的切線，則∠MEG=∠N，而∠MGE=∠AGF，易證得∠AGF=∠B，即∠MGE=∠B，若證ME=MG，關鍵就是證得∠N=∠B；可從題干入手：點D是弧ABC的中點，則弧AD=弧DBC=弧AE，所以弧DBE=弧AEC，即AC=DE，由此可證得∠N=∠B，即可得到∠MGE=∠MEG，根據等角對等邊即可得證．

（2）根據相交弦定理可求得DF、EF的長，即可得到DE、AC的長，易證得△AFG∽△ACB，根據所得比例線段即可求得AG、GC的長，再由（1）證得ME=MG，可用MG分別表示出MA、MC的長，進而根據切割線定理求出MG的長，有了AG、MG的值，那么它們的比例關系就不難求出．

解：（1）ME＝MG成立，理由如下：

如圖，連接EO，并延長交⊙O于N，連接BC，DN；

∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥DE，

∴，

∵點D是弧的中點，

∴弧AD=弧DBC，

∴弧AE=弧DBC，

∴弧AC=弧DBE，即AC＝DE，∠N＝∠B；

∵ME是⊙O的切線，

∴∠MEG＝∠N＝∠B，

又∵∠B＝90°﹣∠GAF＝∠AGF＝∠MGE，

∴∠MEG＝∠MGE，故ME＝MG．

（2）由相交弦定理得：DF2＝AFFB＝3×＝4，即DF＝2；

故DE＝AC＝2DF＝4；

∵∠FAG＝∠CAB，∠AFG＝∠ACB＝90°，

∴△AFG∽△ACB，

∴，即，

解得AG＝，GC＝AC﹣AG＝；

設ME＝MG＝x，則MC＝x﹣，MA＝x+，

由切割線定理得：ME2＝MCMA，即x2＝（x﹣）（x+），

解得MG＝x＝；

∴AG：MG＝：＝10：3，即AG與GM的比為．