Question

【題目】如圖，⊙O是以AB為直徑的圓，C為⊙O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點D，直線EC交AB的延長線于點F，連結CA，CB．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）若⊙O的半徑為5，且tan∠DAC=,求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）利用切線的性質得到OC⊥EF，而AE⊥EF，則可判定AE∥OC，利用平行線的性質得到∠EAC=∠OCA，加上∠OCA=∠OAC，于是得到∠OAC=∠OCA；

（2）利用∠OAC=∠OCA得到tan∠OAC=tan∠DAC= ，設BC=x，則AC=2x，根據勾股定理得到AB=x，則x=10，然后解方程求出x即可得到BC的長．

解：（1）連接 OC

∵EF 與⊙O 相切于點 C． ∴ OC⊥EF，

∵AE⊥EF

∴AE∥OC，

∴∠DAC=∠ACO

∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO=∠DAC

∴AC 平分∠DAB；

（2）∵∠CAB=∠DAC；

∴tan∠CAB= tan∠DAC=

∵AB 是⊙O 的直徑，∠ACB=90°

tan∠CAB =

∵⊙O 的半徑為 5，∴ AB=10

∴ BC=