Question

如圖1，矩形ABCD中，AB=10，BC=8，E是AB邊上一點，過E作EF⊥CE，交AD于點F．
（1）求證：△EFA∽△CEB；
（2）如果AE=6，求AF的長；
（3）在（2）條件下，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸建立坐標(biāo)系，如圖2，連接CF，問在y軸上是否存在點P，使以A、B、P為頂點的三角形與△CEF相似？如果存在，寫出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知矩形ABCD和EF⊥CE，得∠A=∠B=90°，∠CEF=90°，則∠BEC+∠AEF=∠AFE+∠AEF=90°，所以∠BEC=∠AFE，從而證出△EFA∽△CEB；
（2）由AE=6，AB=10，BC=8，則BE=4，所以由（1）證得的△EFA∽△CEB求出AF的長；
（3）存在點P，使以A、B、P為頂點的三角形與△CEF相似，因為由已知得∠PAB=∠FEC=90°，若有一點P，使

PA

FE

=

AB

EC

，則△EFA∽△CEB；由勾股定理可求出FE和EC，根據(jù)相似可求出點P的坐標(biāo)．

解答：（1）證明：∵已知矩形ABCD和EF⊥CE，
∴∠A=∠B=90°，∠CEF=90°，
∴∠BEC+∠AEF=∠AFE+∠AEF=90°，
∴∠BEC=∠AFE，
∴△EFA∽△CEB；

（2）解：已知AE=6，AB=10，BC=8，
∴BE=4，
∵△EFA∽△CEB，
∴

AF

BE

=

AE

BC

，
∴

AF

4

=

6

8

，
∴AF=3；

（3）解：存在點P，使以A、B、P為頂點的三角形與△CEF相似，
因為由（1）得出∠PAB=∠FEC=90°，
在直角三角形AFE 和EBC中由勾股定理得：
FE=

AF2+AE2

=

32+62

=3

5

，
EC=

BE2+BC2

=

42+82

=4

5

，
①若△BAP∽△CEF，得：

BA

CE

=

AP

EF

∴

10

4 5

=

AP

3 5

，
∴PA=7.5，
所以點P的坐標(biāo)為：（0，±7.5）．
②若△PAB∽△CEF，得：

PA

CE

=

AB

EF

，
即

PA

4 5

=

10

3 5

，
∴PA=

40

3

，
所以點P坐標(biāo)為（0，±

40

3

）．

點評：此題考查的知識點相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練運用好矩形的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)．