Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，點M為BC邊上一動點（點M與點B、C不重合），連接AM，過點M作MN⊥AM，垂足為M，MN交CD或CD的延長線于點N．

（1）求證：△CMN∽△BAM；

（2）設BM=x，CN=y，求y關于x的函數解析式．當x取何值時，y有最大值，并求出y的最大值；

（3）當點M在BC上運動時，求使得下列兩個條件都成立的b的取值范圍：①點N始終在線段CD上，②點M在某一位置時，點N恰好與點D重合．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2），當x=時，y取最大值，為；（3）b=2a．

【解析】

試題分析：（1）由矩形的性質可得∠B=∠C=90°，要證△CMN∽△BAM，只需證∠BAM=∠CMN即可；

（2）由△CMN∽△BAM即可得到y與x的函數解析式，然后只需運用配方法就可求出y的最大值；

（3）由點M在BC上運動（點M與點B、C不重合），可得0＜x＜b，要滿足條件①，應保證當0＜x＜b時，y≤a恒成立，要滿足條件②，需存在一個x，使得y=a，綜合條件①和②，當0＜x＜b時y最大值應為a，然后結合（2）中的結論，就可解決問題．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAM+∠AMB=90°．∵MN⊥AM，即∠AMN=90°，∴∠CMN+∠AMB=90°，∴∠BAM=∠CMN，∴△CMN∽△BAM；

（2）∵△CMN∽△BAM，∴．∵BM=x，CN=y，AB=a，BC=AD=b，∴，∴=．∵＜0，∴當x=時，y取最大值，最大值為；

（3）由題可知：當0＜x＜b時，y的最大值為a，即=a，解得：b=2a．∴要同時滿足兩個條件，b的值為2a．