Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為原點，平行于x軸的直線與拋物線L：y=ax2相交于A，B兩點（點B在第一象限），點D在AB的延長線上．

（1）已知a=1，點B的縱坐標為2．

①如圖1，向右平移拋物線L使該拋物線過點B，與AB的延長線交于點C，求AC的長．

②如圖2，若BD=AB，過點B，D的拋物線L2，其頂點M在x軸上，求該拋物線的函數表達式．

（2）如圖3，若BD=AB，過O，B，D三點的拋物線L3，頂點為P，對應函數的二次項系數為a3，過點P作PE∥x軸，交拋物線L于E，F兩點，求的值，并直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）①；②y=4（x﹣）2；（2）；

【解析】試題分析：（1）①根據函數解析式求出點A、B的坐標，求出AC的長；
②作拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N，根據拋物線的軸對稱性求出OM，利用待定系數法求出拋物線的函數表達式；
（2）過點B作BK⊥x軸于點K，設OK=t，得到OG=4t，利用待定系數法求出拋物線的函數表達式，根據拋物線過點B（t，at2），求出的值，根據拋物線上點的坐標特征求出的值．

試題解析：（1）①二次函數y=x2，當y=2時，2=x2，
解得x1=，x2=-，
∴AB=2．
∵平移得到的拋物線L1經過點B，
∴BC=AB=2，
∴AC=4．
②作拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N，如圖2，

根據拋物線的軸對稱性，得BN=DB=，
∴OM=．
設拋物線L2的函數表達式為y=a（x-）2，
由①得，B點的坐標為（，2），
∴2=a（-）2，
解得a=4．
拋物線L2的函數表達式為y=4（x-）2；
（2）如圖3，拋物線L3與x軸交于點G，其對稱軸與x軸交于點Q，
過點B作BK⊥x軸于點K，

設OK=t，則AB=BD=2t，點B的坐標為（t，at2），
根據拋物線的軸對稱性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．
設拋物線L3的函數表達式為y=a3x（x-4t），
∵該拋物線過點B（t，at2），
∴at2=a3t（t-4t），
∵t≠0，
∴，
由題意得，點P的坐標為（2t，-4a3t2），
則-4a3t2=ax2，
解得，x1=-t，x2=t，
EF=t，
∴．