Question

【題目】已知拋物線過點．

（1）若點也在該拋物線上，請用含的關系式表示；

（2）若該拋物線上任意不同兩點、都滿足：當時，；當時，；若以原點為圓心，為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為、（點在點左側），且有一個內角為，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，若點與點關于點對稱，且、、三點共線，求證：平分．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）把點、代入拋物線解析式，然后整理函數式即可得到答案．

（2）根據二次函數的性質可得出拋物線的對稱軸為軸、開口向上，進而可得出，由拋物線的對稱性可得出為等腰三角形，結合其有一個的內角可得出為等邊三角形，設線段與軸交于點，根據等邊三角形的性質可得出點的坐標，再利用待定系數法可求出值，此題得解；

（3）由（1）的結論可得出點的坐標為，、點的坐標為，，由、、三點共線可得出，進而可得出點及點的坐標，由點、的坐標利用待定系數法可求出直線的解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點在直線上，進而即可證出平分．

解：（1）把點、分別代入，得

．

所以．

（2），如圖1，

當時，，

，，

當時，隨的增大而減��；

同理：當時，隨的增大而增大，

拋物線的對稱軸為軸，開口向上，

．

為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為、，

為等腰三角形，

又有一個內角為，

為等邊三角形．

設線段與軸交于點，則，且，

又，

，．

不妨設點在軸右側，則點的坐標為，．

點在拋物線上，且，，

，

，

拋物線的解析式為．

（3）證明：由（1）可知，點的坐標為，，點的坐標為，．

如圖2，直線的解析式為．

、、三點共線，

，，且，

，

，

，即，

點的坐標為，．

設點關于軸的對稱點為點，則點的坐標為，．

點是點關于點的對稱點，

，

點的坐標為．

設直線的解析式為，

點的坐標為，，

，

，

直線的解析式為．

，

點在直線上，

平分．