Question

(10分)如圖，已知拋物線與軸交于A(1，0)，B（，0）兩點，與軸交于點
C(0，3)，拋物線的頂點為P，連結AC．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)在拋物線上找一點D，使得DC與AC垂直，且直線DC與軸交于點Q，求點D的坐標；
(3)拋物線對稱軸上是否存在一點M，使得S_△MAP=2S_△ACP，若存在，求出M點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（10分）解（1）設此拋物線的解析式為：

∵拋物線與軸交于A（1，0）、B（兩點，
∴
又∵拋物線與軸交于點C（0，3）
∴，
∴
∴
即……………3分
用其他解法參照給分
（2）∵點A（1，0），點C（0，3）
∴OA=1，OC=3，
∵DC⊥AC，OC⊥軸
∴△QOC∽△COA
∴，即
∴OQ=9，……………………4分
又∵點Q在軸的負半軸上，∴Q（
設直線DC的解析式為：，則
   解之得：
∴直線DC的解析式為：……………………5分
∵點D是拋物線與直線DC的交點，
∴   解之得：   （不合題意，應舍去）
∴點D（……………………6分
用其他解法參照給分
（3）如圖，點M為直線上一點，連結AM，PC，PA
設點M（，直線與軸交于點E，∴AE=2
∵拋物線的頂點為P，對稱軸為
∴P（
∴PE=4
則PM=
∵S_{四邊形AEPC}=S_{四邊形OEPC}+S_△AOC
=
=
=……………………7分
又∵S_{四邊形AEPC}= S_△AEP+S_△ACP
S_△AEP=
∴+S_△ACP=……………………8分
∵S_△MAP=2S_△ACP
∴
∴
∴，……………………9分
故拋物線的對稱軸上存在點M使S_△MAP=2S_△ACP
點M（或……………………10分
用其他解法參照給分

解析