Question

【題目】如圖，經過點A（0，﹣4）的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于點B（﹣1，0）和C，O為坐標原點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將拋物線y=x2+bx+c向上平移個單位長度，再向左平移m（m＞0）個單位長度，得到新拋物線，若新拋物線的頂點P在△ABC內，求m的取值范圍；

（3）將x軸下方的拋物線圖象關于x軸對稱，得到新的函數圖象C，若直線y=x+k與圖象C始終有3個交點，求滿足條件的k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)、y=；(2)、＜m＜；(3)、1或

【解析】

試題分析：(1)、該拋物線的解析式中只有兩個待定系數，只需將A、B兩點坐標代入即可得解．(2)、首先根據平移條件表示出移動后的函數解析式，進而用m表示出該函數的頂點坐標，將其代入直線AB、AC的解析式中，即可確定P在△ABC內時m的取值范圍．(3)、先根據函數解析式畫出圖形，然后結合圖形找出拋物線與x軸有三個交點的情形，最后求得直線的解析式，從而可求得m的值．

試題解析：(1)、∵經過點A（0，﹣4）的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于點B（﹣1，0），

∴， ∴， ∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣4，

(2)、由(1)知，拋物線解析式為yx2﹣x﹣4=（x2﹣7x）﹣4=（x﹣）2﹣，

∴此拋物線向上平移個單位長度的拋物線的解析式為y=（x﹣）2﹣，

再向左平移m（m＞0）個單位長度，得到新拋物線y=（x+m﹣）2﹣，

∴拋物線的頂點P（﹣m+，﹣）， 對于拋物線y=x2﹣x﹣4，令y=0， x2﹣x﹣4=0，解得x=﹣1或8， ∴B（8，0），∵A（0，﹣4），B（﹣1，0），

∴直線AB的解析式為y=﹣4x﹣4，直線AC的解析式為y=x﹣4， 當頂點P在AB上時，﹣ =﹣4×（﹣m+）﹣4，解得m=， 當頂點P在AC上時，﹣ =（﹣m+）﹣4，

解得m=， ∴當點P在△ABC內時＜m＜．

(3)、翻折后所得新圖象如圖所示．

平移直線y=x+k知：直線位于l1和l2時，它與新圖象有三個不同的公共點．

①當直線位于l1時，此時l1過點B（﹣1，0）， ∴0=﹣1+k，即k=1．

②∵當直線位于l2時，此時l2與函數y=﹣x2+x+4（﹣1≤x≤8）的圖象有一個公共點

∴方程x+k=﹣x2+x+4，即x2﹣5x﹣8+2k=0有兩個相等實根． ∴△=25﹣4（2k﹣8）=0，即k=．

綜上所述，k的值為1或．