Question

在平面直角坐標系中，已知A（-4，0），B（1，0），且以AB為直徑的圓交y軸的正半軸于點C（0，2），過點C作圓的切線交x軸于點D．
（1）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）設平行于x軸的直線交拋物線于E，F兩點，問：是否存在以線段EF為直徑的圓，恰好與x軸相切？若存在，求出該圓的半徑；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線過A，B，C三點，可根據三點的坐標用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）由于CD是圓的切線，設圓心為O′，可連接O′C，在直角三角形O′CD中科根據射影定理求出OD的長，即可得出D的坐標．
（3）可假設存在這樣的點E、F，設以線段EF為直徑的圓的半徑為|r|，那么可用半徑|r|表示出E，F兩點的坐標，然后根據E，F在拋物線上，將E，F的坐標代入拋物線的解析式中，可得出關于|r|的方程，如果方程無解則說明不存在這樣的E，F點，如果方程有解，可用得出的r的值求出E，F兩點的坐標．

解答：解：（1）令二次函數y=ax²+bx+c，
則

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=2

，
∴

a=- 1 2 b=- 3 2 c=2

，
∴過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=-

1

2

x²-

3

2

x+2．

（2）以AB為直徑的圓的圓心坐標為O′（-

3

2

，0），
∴O′C=

5

2

，
OO′=

3

2

；
∵CD為⊙O′切線
∴O′C⊥CD，
∴∠O′CO+∠OCD=90°，∠CO'O+∠O'CO=90°，
∴∠CO'O=∠DCO，
∴△O'CO∽△CDO，
∴

OO′

OC

=

OC

OD

，即

3 2

2

=

2

OD

，
∴OD=

8

3

，
∴D坐標為（

8

3

，0）．

（3）存在，
拋物線對稱軸為x=-

3

2

，
設滿足條件的圓的半徑為r，則E的坐標為（-

3

2

+r，|r|）或F（-

3

2

-r，r），
而E點在拋物線y=-

1

2

x²-

3

2

x+2上，
∴r=-

1

2

（-

3

2

+r）²-

3

2

（-

3

2

+r）+2；
∴r₁=-1+

29

2

，r₂=-1-

29

2

（舍去）；
故以EF為直徑的圓，恰好與x軸相切，該圓的半徑為-1+

29

2

．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形相似、切線的性質等重要知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．