Question

【題目】動手操作：
如圖,已知AB∥CD,點A為圓心,小于AC長為半徑作圓弧,分別交AB,AC于E,F兩點,再分別以點E,F為圓心,大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M.
問題解決：

(1)若∠ACD=78°，求∠MAB的度數；
(2)若CN⊥AM,垂足為點N,求證：△CAN≌△CMN.
實驗探究：
(3)直接寫出當∠CAB的度數為多少時?△CAM分別為等邊三角形和等腰直角三角形.

Answer 1

【答案】(1) ∠MAB =51°；(2)詳見解析；(3)當∠CAB為120°時，△CAM為等邊三角形；當∠CAB為90°時，△CAM為等腰直角三角形.

【解析】

（1）利用平行線的性質求出∠CAB，再根據角平分線的定義即可解決問題；
（2）根據AAS即可判斷；
（3）根據等邊三角形、等腰直角三角形的定義即可判定；

解：(1)∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB=180°，
又∵∠ACD=78°，
∴∠CAB=102°.
由作法知，AM是∠CAB的平分線，
∴∠MAB=∠CAB=51°；
(2)證明：由作法知，AM平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB.
∵AB∥CD，
∴∠MAB=∠CMA,
∴∠CAM=∠CMA，
∵CN⊥AM，
∴∠CNA=∠CNM=90°.
又∵CN=CN，
∴△CAN≌△CMN.
(3)當∠CAB為120°時，△CAM為等邊三角形；當∠CAB為90°時，△CAM為等腰直角三角形.