Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線與y軸交于點(diǎn)D（0，3）．

（1）直接寫出c的值；

（2）若拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊），頂點(diǎn)為C點(diǎn)，求直線BC的解析式；

（3）已知點(diǎn)P是直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P不與B、C重合），過點(diǎn)P作PE⊥y軸，垂足為E，連結(jié)BE．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），△PBE的面積為s，求s與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出s的最大值；

②試探索：在直線BC上是否存在著點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P為圓心，半徑為r的⊙P，既與拋物線的對稱軸相切，又與以點(diǎn)C為圓心，半徑為1的⊙C相切？如果存在，試求r的值，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）c=3；（2）；（3）①S=-x2+3x=-(x-)2+（1<x<3）；當(dāng)x=時(shí)，S取得最大值，最大值為；②存在點(diǎn)P1（），或P2（），此時(shí)r1=；點(diǎn)P3（），或P4（），此時(shí)r2=，理由見解析．

【解析】

（1）將點(diǎn)D（0，3）直接代入解析式即可；

（2）先求出頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，4），以及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即令y=0時(shí)，得到點(diǎn)B（3,0）代入一次函數(shù)解析式即可求得答案；

（3）根據(jù)S=PE·OE，利用P點(diǎn)在線段BC上，可表示出PE，OE，得到S=，變形為頂點(diǎn)式后求出最大值即可．第②小問，根據(jù)兩圓內(nèi)切與外切進(jìn)行分類討論，分別用r表示出CQ，PQ，CP的長度，再利用勾股定理即可求出r長度和P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）∵將D（0，3）代入解析式

∴c=3

（2）由（1）知拋物線為：

y=-x2+2x+3，配方得y=-（x-1）2+4

∴頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，4）

令y=0，得x1=-1，x2=3

∴ B（3，0）

設(shè)直線BC解析式為：（），把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，

得解得．

∴直線BC解析式為

（3）①∵點(diǎn)P（x，y）在的圖象上，

∴PE=x，OE=-2x+6

∴s=PE·OE=

∴

．

∵x=符合1<x<3，

∴當(dāng)x=時(shí)，S取得最大值，最大值為．

②答：存在．

如圖，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)F，則CF=4，BF=2

過P作PQ⊥CF于Q，則Rt△CPQ∽Rt△CBF

∴，即

∴CQ=2r

當(dāng)⊙P與⊙C外切時(shí)，CP=r+1

∵CQ2+PQ2=CP2

∴（2r）2+r2=（r+1）2

解得r=(r=舍去）

此時(shí)P1（），或P2（）

當(dāng)⊙P與⊙C內(nèi)切時(shí)，CP=r-1．

∵CQ2+PQ2=CP2

∴（2r）2+r2=（r-1）2

解得r=（r= 舍去）

此時(shí)P3（），或P4（）．

∴當(dāng)r1=, r2=時(shí)，⊙P與⊙C相切．

點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（），或P2（），

P3（），或P4（）．