Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是線段BC上一點，以O為圓心，OC為半徑作⊙O，AB與⊙O相切于點F，直線AO交⊙O于點E，D．

（1）求證：AO是△CAB的角平分線；

（2）若tan∠D=，AE=2，求AC的長．

（3）在（2）條件下，連接CF交AD于點G，⊙O的半徑為3，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4；（3）．

【解析】

（1）連接OF，可得OF⊥AB，由∠ACB＝90°，OC＝OF，可得出結(jié)論；

（2）連接CE，先求證∠ACE＝∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以，結(jié)合tan∠D＝＝，即可得到結(jié)論；

（3）連接CF交AD于點M，由（2）可知，AC2＝AEAD，先求出AE，AC的長，則AO可求出，證△CMO∽△ACO，可得OC2＝OMOA，求出OM，CM，結(jié)合CF＝2CM，即可求解．

（1）證明：連接OF．

∵AB與⊙O相切于點F，∴OF⊥AB．

∵∠ACB=90°，OC=OF，∴∠OAF=∠OAC，

即AO是△ABC的角平分線；

（2）如圖2，連接CE，

∵ED是⊙O的直徑，∴∠ECD=90°，∴∠ECO+∠OCD=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠ECO=90°，∴∠ACE=∠OCD．

∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ACE=∠ODC．

∵∠CAE=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴．

∵tan∠D=，∴＝，∴＝；∵AE=2∴AC=4

（3）由（2）可知：AE=2，AC=4，∴AO=AE+OE=2+3=5，

如圖3，連接CF交AD于點G．

∵AC，AF是⊙O的切線，∴AC=AF，∠CAO=∠OAF，∴CF⊥AO，∴∠ACO=∠CGO=90°．

∵∠COG=∠AOC，∴△CGO∽△ACO，∴，∴OC2=OGOA，∴OG=，∴CG==，∴CF=2CG=．