Question

已知關于x的二次函數y=x²+（2k-1）x+k²-1．
（1）若關于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²-1=0的兩根的平方和等于9，求k的值，并在直角坐標系（如圖）中畫出函數y=x²+（2k-1）x+k²-1的大致圖象；
（2）在（1）的條件下，設這個二次函數的圖象與x軸從左至右交于A、B兩點．問函數對稱軸右邊的圖象上，是否存在點M，使銳角△AMB的面積等于3．若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（1）、（2）條件下，若P點是二次函圖象上的點，且∠PAM=90°，求△APM的面積．

Answer 1

分析：（1）利用根的判別式△≥0，求出k的取值范圍，再利用根與系數的關系即可得出k的值，從而求出二次函數的頂點坐標與對稱軸，及可得出圖象；
（2）由（1），令y=0，得x²-3x=0，即可得出A（0，0），B（3，0），即可求出其坐標為M（2，-2）；
（3）由M（2，-2），得出∠BAP=45°，得出AP所在直線的解析式為：y=x，由因為P也在拋物線上，得出x²-3x=x，即可求出x的值．

解答：解：（1）∵所給一元二次方程有解，
∴根的判別式△≥0，
即（2k-1）²-4（k²-1）≥0，
解得k≤

5

4

；
設方程的兩個根分別為x₁、x₂，
則x₁²+x₂²=9，
即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9，
又x₁+x₂=-（2k-1），x₁•x₂=k²-1，
分別代入上式，
解得k₁=-1或k₂=3，
∵k≤

5

4

，
∴k=-1．
代入函數式中，得y=x²-3x，
配方可得y=(x-

3

2

)2-

9

4

，
即拋物線的對稱軸為x=

3

2

，頂點坐標為D（

3

2

，-

9

4

），
大致圖象如下（如圖）；

（2）由（1），令y=0，得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3，
∴A（0，0），B（3，0）．
這樣的點存在．
其坐標為M（2，-2）．
設M（x_m，y_m），而△AMB是銳角三角形，
故

3

2

＜x_m＜3，
∴y_m＜0．故有S_△AMB=

1

2

•|AB|•|ym|=

1

2

•3•|ym|=3，
∴|y_m|=2，y_m=±2，舍去正值，
∴y_m=-2，
當y_m=-2時，x_m²-3x_m=-2，
解得x_m=1或x_m=2，
∵

3

2

＜x_m＜3，
∴x_m=1舍去，而

3

2

＜2＜3，
∴x_m=2滿足條件，
∴這樣的點存在，其坐標為M（2，-2）；

（3）∵M（2，-2），
∴∠MAB=45°，
∴∠BAP=45°，
∴AP所在直線的解析式為：y=x，
∵P也在拋物線上，
∴x²-3x=x，
解得：x₁=0（舍去），x₂=4，
此時y=4，
∴P（4，4），可求得線段AP長=4

2

，線段AM長=2

2

，
∴S_△AMP=

1

2

•2

2

•4

2

=8．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及一元二次方程根的判別式與根與系數的關系等知識，此題對一元二次方程考查知識較多二次函數與一元二次方程結合是比較典型題目，同學們應注意它們之間的區別于聯系．