Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標系中，AD=6，若OA,OB的長是關于x的一元二次方程的兩個根，且OA>OB.

（1）若點E為x軸上的點，且△AOE的面積為.

求：①點E的坐標；②證明：△AOE∽△DAO;

（2）若點M在平面直角坐標系中，則在直線AB上是否存在點F，使以A,C,F,M為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出F點的坐標;若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①或；②詳見解析；（2）

【解析】

（1）①解一元二次方程求出OA，OB的長度，根據三角形的面積求出點E的坐標.
②分別求出兩三角形夾直角的兩對應邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；
（2）根據菱形的性質，分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算．

(1)

(x3)(x4)=0，

∴x3=0，x4=0，

解得

∵OA>OB，

∴OA=4，OB=3，

∵

∴

∴

∵點E在x軸上

∴E點的坐標為或

②在△AOE與△DAO中, AD=6，

∴

又∵

∴△AOE∽△DAO；

(2)根據計算的數據，OB=OC=3，

∴AO平分∠BAC，

①AC、AF是鄰邊，點F在射線AB上時，AF=AC=5，

所以點F與B重合，

即F(3,0)，

②AC、AF是鄰邊，點F在射線BA上時，M應在直線AD上，且FC垂直平分AM，

點F(3,8).

③AC是對角線時,做AC垂直平分線L,AC解析式為,直線L過 且k值為 (平面內互相垂直的兩條直線k值乘積為1)，

L解析式為 聯立直線L與直線AB求交點，

∴F;

④AF是對角線時,過C做AB垂線,垂足為N,根據等積法求出勾股定理得出,A做A關于N的對稱點即為F,過F做y軸垂線,垂足為G,

∴F

綜上所述,滿足條件的點有四個：