Question

【題目】如圖，已知以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為弧BE的中點，連接AD交OE于點F，若AC=FC

（Ⅰ）求證：AC是⊙O的切線；

（Ⅱ）若BF=5，DF=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4.

【解析】

試題分析：（1）連接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根據切線的判定推出即可；

（2）OD=r，OF=8﹣r，在Rt△DOF中根據勾股定理得出方程r2+（8﹣r）2=（）2，求出即可．

試題解析：（1）連接OA、OD，

∵D為弧BE的中點，

∴OD⊥BC，

∠DOF=90°，

∴∠D+∠OFD=90°，

∵AC=FC，OA=OD，

∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，

∵∠CFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠CAF=90°，

∴OA⊥AC，

∵OA為半徑，

∴AC是⊙O切線；

（2）∵⊙O半徑是r，

∴OD=r，OF=5﹣r，

在Rt△DOF中，r2+（5﹣r）2=（）2，

r=4，r=1（舍），

即⊙O的半徑r為4．