Question

24、如圖，正方形ABCD的邊長為4、點E在邊AB上，且AE=1．點F為邊CD上一動點，且DF=m，以A為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系．
（1）連接EF，求四邊形AEFD的面積s關于m的函數關系式；
（2）若直線EF將正方形ABCD分成面積相等的兩部分：求此時直線EF對應的函數關系式；
（3）在正方形ABCD的邊上是否存在點P，使△PCE是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據梯形面積的求法s=0.5×（AE+DF）×AD，列出s關于m的函數關系式即可；
（2）根據題意算出DF的長度，然后即可求出F的坐標，已知E的坐標，即可求出直線EF對應的函數關系式；
（3）分別取三個點作為定點，然后根據勾股定理和等腰三角形的兩個腰相等來判斷是否存在符合題意的P的坐標．

解答：解：（1）如圖所示：
連接EF，根據梯形面積的求法s=0.5×（AE+DF）×AD，
可得：s=2m+2；

（2）正方形的面積為16，因為直線EF將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，
所以梯形面積為s=8，所以m=3，
所以F的坐標為（3，4），又因為E的坐標（1，0），
設EF的解析式為y=kx+b，將E和F的坐標代入可得
y=2x-2；

（3）CE長為5，
當C為頂點時，CP長為5，P在AD上，根據勾股定理可知AP=1，
所以P的坐標為（0，1），
當E為頂點時，PE=5，不存在點P，
當P為頂點時，P在CB上，CP=PE，
設BP=x，根據勾股定理列出等量關系式：（4-x）²=9+x²，
解得x=0.875，所以P的坐標（4，0.875），
P在AD上，同理可以求的AP=3.875，
所以P的坐標為（0，3.875），
所以P的坐標為（0，1），（4，0.875），（0，3.875）．

點評：本題主要考查對于一次函數的應用，還考查到了對與等腰三角形性質的掌握和勾股定理的應用．