Question

25、定義：到凸四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊距離也相等的點叫凸四邊形的準內心．如圖1，PH=PJ，PI=PG，則點P就是四邊形ABCD的準內心．
（1）如圖2，∠AFD與∠DEC的角平分線FP，EP相交于點P．求證：點P是四邊形ABCD的準內心．
（2）分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準內心．（作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說明）

Answer 1

分析：（1）只要證得PJ=PH，PG=PI，即可得出結論；通過證明△PEJ≌△PEH和△PGF≌△PIF即可得出；
（2）根據平行四邊形的性質，對角線互相平分，可得出交點既是準內心；根據角平分線的性質定理和梯形中位線的性質定理，可得梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點即為準內心；

解答：（1）證明：作PI⊥FD，PJ⊥DE，PG⊥AF，PH⊥EC，
∵EP平分∠DEC，
∴∠PED=∠CEP，
在△PEJ和△PEH中，
∠PED=∠CEP，PE=PE，∠PHE=∠PJE，
∴△PEJ≌△PEH，
∴PJ=PH，
同理，可證△PGF≌△PIF，
∴PG=PI，
∴點P是四邊形ABCD的準內心；

（2）平行四邊形對角線AC、BD的交點P₁就是準內心，如圖3（1）；
或者取平行四邊形兩對邊中點連線的交點P₁就是準內心，如圖3（2）；
梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點P₂就是準內心．如圖4．

點評：本題考查了多邊形的準內心，用到的知識點是角平分線、中位線的性質定理；可通過證明三角形全等來證得結論．