Question

定義：到凸四邊形一組對(duì)邊距離相等，到另一組對(duì)邊距離也相等的點(diǎn)叫凸四邊形的準(zhǔn)內(nèi)心．如圖1，PH=PJ，PI=PG，則點(diǎn)P就是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)心．

（1）如圖2，∠AFD與∠DEC的角平分線FP，EP相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)心．
（2）分別畫(huà)出圖3平行四邊形和圖4梯形的準(zhǔn)內(nèi)心．（作圖工具不限，不寫(xiě)作法，但要有必要的說(shuō)明）
（3）同樣，我們定義：到凸四邊形一組對(duì)角頂點(diǎn)的距離相等，到另一組對(duì)角頂點(diǎn)的距離也相等的點(diǎn)叫凸四邊形的準(zhǔn)外心．若QA=QC，QB=QD，則點(diǎn)Q就是四邊形ABCD的準(zhǔn)外心．那么你認(rèn)為Q是

AC的中垂線

和

BD的中垂線

的交點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）只要證得PJ=PH，PG=PI，即可得出結(jié)論；通過(guò)證明△PEJ≌△PEH和△PGF≌△PIF即可得出；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角線互相平分，可得出交點(diǎn)既是準(zhǔn)內(nèi)心；根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和梯形中位線的性質(zhì)定理，可得梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點(diǎn)即為準(zhǔn)內(nèi)心；
（3）根據(jù)凸四邊形的準(zhǔn)外心定義即可得出四邊形ABCD的準(zhǔn)外心．

解答：（1）證明：作PI⊥FD，PJ⊥DE，PG⊥AF，PH⊥EC，
∵EP平分∠DEC，
∴∠PED=∠CEP，
在△PEJ和△PEH中，
∠PED=∠CEP，PE=PE，∠PHE=∠PJE，
∴△PEJ≌△PEH，
∴PJ=PH，
同理，可證△PGF≌△PIF，
∴PG=PI，
∴點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)心；

解：（2）平行四邊形對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)P1就是準(zhǔn)內(nèi)心，如圖3（1）；
或者取平行四邊形兩對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)P1就是準(zhǔn)內(nèi)心，如圖3（2）；
梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點(diǎn)P2就是準(zhǔn)內(nèi)心．如圖4；

（3）根據(jù)凸四邊形的準(zhǔn)外心定義即可得出四邊形ABCD的準(zhǔn)外心Q是AC的中垂線和BD的中垂線的交點(diǎn)；
故答案為：AC的中垂線，BD的中垂線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了作圖-與應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，用到的知識(shí)點(diǎn)是多邊形的準(zhǔn)內(nèi)、心角平分線、中位線的性質(zhì)定理等；可通過(guò)證明三角形全等來(lái)證得結(jié)論．