Question

（2008•宜賓）已知：如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E．求四邊形ABDE的面積；
（3）△AOB與△BDE是否相似？如果相似，請(qǐng)予以證明；如果不相似，請(qǐng)說明理由．
（注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為）

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線的解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，因此可根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）由于四邊形ABDE不是規(guī)則的四邊形，因此可將ABDE分割成幾個(gè)規(guī)則的圖形后再進(jìn)行求解．可設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為F，那么四邊形ABDE的面積=三角形AOB的面積+直角梯形BOFD的面積+三角形DFE的面積，根據(jù)拋物線的解析式可求得D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因此就可求出DF、OF、EF的長(zhǎng)，根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得出OA、OB的長(zhǎng)，那么求這些圖形面積的相關(guān)線段的長(zhǎng)就都已求出，進(jìn)而可得出四邊形ABDE的面積．
（3）可先根據(jù)B、D、E的坐標(biāo)，求出BD、DE、BE的長(zhǎng)，由于三角形AOB是直角三角形，要想判定兩三角形是否相似，就要先判斷三角形BDE是否為直角三角形，可根據(jù)BD、DE、BE三邊的長(zhǎng)以及勾股定理，來判斷出三角形BDE是否為直角三角形，如果是直角三角形，那么找出三角形BDE中的直角，然后看夾直角的兩組對(duì)應(yīng)邊是否成比例即可得出兩三角形是否相似．
解答：解：（1）由已知得：
解得c=3，b=2
∴拋物線的線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）
所以對(duì)稱軸為x=1，A，E關(guān)于x=1對(duì)稱，
所以E（3，0）
設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為F
所以四邊形ABDE的面積=S_△ABO+S_梯形BOFD+S_△DFE=AO•BO+（BO+DF）•OF+EF•DF
=×1×3+（3+4）×1+×2×4
=9

（3）相似．如圖，連接AB、BD、DE，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BG⊥DF于點(diǎn)G．
BD=
BE=
DE=
所以DE²=20，即：BD²+BE²=DE²，
所以△BDE是直角三角形，所以∠AOB=∠DBE=90°，且，
所以△AOB∽△DEB．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的方法，相似三角形的判定以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．本題中確定二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．