Question

（2008•宜賓）已知：如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸、y軸分別相交于點A（-1，0）、B（0，3）兩點，其頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若該拋物線與x軸的另一個交點為E．求四邊形ABDE的面積；
（3）△AOB與△BDE是否相似？如果相似，請予以證明；如果不相似，請說明理由．
（注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為）

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線的解析式中只有兩個未知數，因此可根據A，B兩點的坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）由于四邊形ABDE不是規則的四邊形，因此可將ABDE分割成幾個規則的圖形后再進行求解．可設拋物線的對稱軸與x軸的交點為F，那么四邊形ABDE的面積=三角形AOB的面積+直角梯形BOFD的面積+三角形DFE的面積，根據拋物線的解析式可求得D、E兩點的坐標，因此就可求出DF、OF、EF的長，根據A、B兩點的坐標可得出OA、OB的長，那么求這些圖形面積的相關線段的長就都已求出，進而可得出四邊形ABDE的面積．
（3）可先根據B、D、E的坐標，求出BD、DE、BE的長，由于三角形AOB是直角三角形，要想判定兩三角形是否相似，就要先判斷三角形BDE是否為直角三角形，可根據BD、DE、BE三邊的長以及勾股定理，來判斷出三角形BDE是否為直角三角形，如果是直角三角形，那么找出三角形BDE中的直角，然后看夾直角的兩組對應邊是否成比例即可得出兩三角形是否相似．
解答：解：（1）由已知得：
解得c=3，b=2
∴拋物線的線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）由頂點坐標公式得頂點坐標為（1，4）
所以對稱軸為x=1，A，E關于x=1對稱，
所以E（3，0）
設對稱軸與x軸的交點為F
所以四邊形ABDE的面積=S_△ABO+S_梯形BOFD+S_△DFE=AO•BO+（BO+DF）•OF+EF•DF
=×1×3+（3+4）×1+×2×4
=9

（3）相似．如圖，連接AB、BD、DE，過點D作DF⊥x軸于點F，過點B作BG⊥DF于點G．
BD=
BE=
DE=
所以DE²=20，即：BD²+BE²=DE²，
所以△BDE是直角三角形，所以∠AOB=∠DBE=90°，且，
所以△AOB∽△DEB．
點評：本題主要考查了用待定系數法求二次函數的解析式的方法，相似三角形的判定以及二次函數的綜合應用等知識點．本題中確定二次函數的解析式是解題的關鍵．