Question

如圖，有一個橫截面是拋物線的運河，一次，運河管理員將一根長6m的鋼管（AB）一端在運河底部A點，另一端露出水面并靠在運河邊緣的B點，發現鋼管4m浸沒在水中（AC=4米），露出水面部分的鋼管BC與水面部分的鋼管BC與水面成30°的夾角（鋼管與拋物線的橫截面在同一平面內）
（1）以水面所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，求該運河橫截面的拋物線解析式；
（2）若有一艘貨船從當中通過，已知貨船底部最寬處為12米，吃水深（即船底與水面的距離）為1米，此時貨船是否能安全通過該運河？若能，請說明理由；若不能，則需上游開閘放水提高水位，當水位上升多少米時，貨船能順利通過運河？（船與河床之間的縫隙忽略不計）

Answer 1

分析：（1）頂點在y軸上的拋物線解析式為y=ax²+c．
（2）問是在（1）基礎上令x=6求對應的y的值來判斷．

解答：解：（1）過B點作BD垂直于x軸，垂足為D點．

∵∠OCA=30°，AC=4，
∴OA=2，OC=2

3

，
即得A（0，-2）．
∵BC=2，
∴得CD=

3

，BD=1，
即得到B（3

3

，1），
設解析式為y=ax²+c，
把A（0，-2），B（3

3

，1）代入
得a=

1

9

，c=-2，
所以該運河橫截面的拋物線解析式為y=

1

9

x²-2．

（2）因為貨船底部最寬處為12米，
令x=6，得y=2，
所以貨船不能安全通過該運河，水位上升（1+2）即3米，貨船能順利通過運河．

點評：要求拋物線解析式必須求它上面點的坐標，可設一般式y=ax²+bx+c（a≠0），頂點式y=a（x+k）²+h，交點式y=a（x-m）（x-n）．