Question

我們知道，一元二次方程x²=﹣1沒有實數根，即不存在一個實數的平方等于﹣1．若我們規定一個新數“i”，使其滿足i²=﹣1（即方程x²=﹣1有一個根為i）．并且進一步規定：一切實數可以與新數進行四則運算，且原有運算律和運算法則仍然成立，于是有i¹=i，i²=﹣1，i³=i²•i=（﹣1）•i=﹣i，i⁴=（i²）²=（﹣1）²=1，從而對于任意正整數n，我們可以得到i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ•i=（i⁴）ⁿ•i=i，同理可得i⁴ⁿ⁺²=﹣1，i⁴ⁿ⁺³=﹣i，i⁴ⁿ=1．那么i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³的值為【   】

A．0

B．1

C．﹣1

D．i

Answer 1

D。

由題意得，i¹=i，i²=﹣1，i³=i²•i=（﹣1）•i=﹣i，i⁴=（i²）²=（﹣1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=i⁵•i=﹣1，
可發現4次一循環，一個循環內的和為0，
∵2013÷4=503…1，∴i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³=i。
故選D。