Question

【題目】如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點，以O為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF的兩邊相交于A、B和C、D，連接OA，此時有OA∥PE．
（1）求證：AP=AO；
（2）若tan∠OPB= ，求弦AB的長；
（3）若以圖中已標明的點（即P、A、B、C、D、O）構造四邊形，則能構成菱形的四個點為 ， 能構成等腰梯形的四個點為或或 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PG平分∠EPF，

∴∠DPO=∠BPO，

∵OA∥PE，

∴∠DPO=∠POA，

∴∠BPO=∠POA，

∴PA=OA

（2）解：過點O作OH⊥AB于點H，則AH=HB= AB，

∵tan∠OPB= ，∴PH=2OH，

設OH=x，則PH=2x，

由（1）可知PA=OA=10，∴AH=PH﹣PA=2x﹣10，

∵AH2+OH2=OA2，∴（2x﹣10）2+x2=102，

解得x1=0（不合題意，舍去），x2=8，

∴AH=6，∴AB=2AH=12

（3）P、A、O、C；A、B、D、C；P、A、O、D；P、C、O、B
【解析】（3）解：P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B． （1）由已知條件“射線PG平分∠EPF”求得∠DPO=∠BPO；然后根據平行線的性質，兩直線OA∥PE，內錯角∠DPO=∠POA；最后由等量代換知∠BPO=∠POA，從而根據等角對等邊證明AP=AO；（2）設OH=x，則PH=2x．作輔助線OH（“過點O作OH⊥AB于點H”），根據垂徑定理知AH=HB= AB；又由已知條件“tan∠OPB= ”求得PH=2OH；然后利用（1）的結果及勾股定理列出關于x的一元二次方程，解方程即可；（3）根據菱形的性質、等腰梯形的判定定理填空．