Question

【題目】已知：點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB＝OC。

（1）如圖①，若點O在BC上，求證：AB＝AC；

（2）如圖②，若點O在△ABC的內部，上題的結論還成立嗎？為什么？

（3）若點O在△ABC的外部，AB＝AC成立嗎？請畫圖表示。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）成立，證明詳見解析；（3）不一定成立，圖詳見解析.

【解析】

（1）根據已知條件易證Rt△BOD≌Rt△COE，即可得∠B=∠C，根據等角對等邊的性質，即可證得AB=AC；（2）結論成立，根據已知條件易證得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根據等邊對等角的性質，易證得∠ABC=∠ACB，根據等角對等邊的性質可得AB=AC；（3）不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時，類比（1）的方法可證AB=AC；當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線不重合時，過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延長線于點E，連接OA，由題意可得OD=OE，根據角平分線的判定定理可得點O在∠BAC的平分線上，易證△ADO≌△AEO，可得AD=AE，由此可得AB≠AC．

（1）由題意可得，OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）點O在△ABC的內部，上題的結論成立,理由如下：

由題意可得，OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠DBO=∠ECO，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）不一定成立，當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時AB=AC，否則AB≠AC．

證明：①當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時（如圖3），過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延長線于點E，

則OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠DBO=∠ECO，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠DBC=∠ECB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC．

②當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線不重合時（如圖4），

過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延長線于點E，連接OA，由題意可得OD=OE，根據角平分線的判定定理可得點O在∠BAC的平分線上，易證△ADO≌△AEO，可得AD=AE，由此可得AB≠AC．