Question

如圖，在等腰梯形ABCE中，BC∥AE且AB=BC，以點E為坐標原點建立平面直角坐標系，若將梯形ABCD沿AC折疊，使點B恰好落在x軸上點D位置，過C、D兩點的直線與y軸交于點F．
（1）試判斷四邊形ABCD是怎樣的特殊四邊形，并說明你的理由；
（2）如果∠BAE=60°，AB=2cm，那么在y軸上是否存在一點P，使以P、D、F為頂點的三角形構成等腰三角形，若存在，請求出所有可能的P點坐標，若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若將△EDF沿x軸正方向以1cm/s的速度平移到點E與點A重合時為止，設△EDF在平移過程中與△ECA重合部分的面積為S，平移的時間為x秒，試求出S與x之間的函數關系式及自變量范圍，并求出何時S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由已知易得AB=BC=DA=AB，所以四邊形ABCD為菱形．
（2）若△PDF等腰三角形DF可能為腰，分別討論找出相關系并求出坐標進行判斷．
（3）由（2）可得，AE=DE+AD=4cm，則DE=2，AD=2，設△DEF平移到△D′E′F′，則EE′=x，E′M=

3

x，AD'=AE-D′E′-EE'=4-2-x=2-x，可得S_△EME′=

3

2

x²，S_△AD′N=

3

4

（2-x）²，則S=S_△ADE-S_△EME′-S_△AD′N，代入整理可得S與x的解析式，根據二次函數的性質求得最大值即可．

解答：解：（1）四邊形ABCD為菱形．
理由如下：因為點B和點D關于直線AC對稱所以AB=AD，BC=DC．由AB=BC得AB=BC=DA=AB，所以四邊形ABCD為菱形．

（2）因為四邊形ABCD為菱形，所以DF∥AB，所以∠CDE=∠CED=60°，所以△CDE為等邊三角形，所以DE=CD=AB=2cm．在Rt△DEF中，DF=DEcos60°=2cos60°=4cm．
①如果以F為頂點，即FP=FD時，P點坐標為（0，4+2

3

），（0，2

3

-4）；
②如果以P為頂點，即PF=PD時，P點坐標為（0，

2 3

3

）；
③如果以D為頂點，即DF=DP時，P點坐標為（0，-2

3

）．
綜上所述，P點坐標為（0，4+2

3

），（0，2

3

-4），（0，

2 3

3

），（0，-2

3

）．

（3）

由（2）可得，AE=DE+AD=4cm，則DE=2，AD=2
①設△DEF平移到△D′E′F′，則EE′=x，E′A=4-x，AD'=AE′-E′D′=4-x-2=2-x，
可得S_△A′ME′=

3

6

（4-x）²，S_△AD′N=

3

4

（2-x）²，
則S=S_△A′ME′-S_△AD′N=

3

6

（4-x）²-

3

4

（2-x）²（0≤x≤1）；

②設△DEF平移到△D′E′F′，則EE′=x，E′M=

3

x，AD'=AE-D'E′-EE′=4-2-x=2-x
可得S_△EME′=

3

2

x²
S_△AD′N=

3

4

（2-x）²，
則S=S_△AME-S_△EME′-S_△AD′N=

1

2

×2×2

3

-

3

2

x²-

3

4

（2-x）²=-

3

4

3

x2+

3

x+

3

（1≤x≤2）
當x=-

b

2a

=-

3

2×(- 3 3 4 )

=

2

3

，則當x=1時，S有最大值是：

3

4

（2-1）²=

3

4

；
③設△DEF平移到△D′E′F′，則EE′=x，AE′=4-x，
可得S=S_△A′ME′=

3

6

（4-x）²（2≤x≤4）．

點評：本題考查梯形，菱形、直角三角形、二次函數的相關知識的理解及運用，綜合性強，做題時要注意知識點之間的聯系．