Question

【題目】如圖，以BC為底邊的等腰△ABC，點D，E，G分別在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延長GE至點F，使得BE=BF．

（1）求證：四邊形BDEF為平行四邊形；
（2）當∠C=45°，BD=2時，求D，F兩點間的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC是等腰三角形，

∴∠ABC=∠C，

∵EG∥BC，DE∥AC，

∴∠AEG=∠ABC=∠C，四邊形CDEG是平行四邊形，

∴∠DEG=∠C，

∵BE=BF，

∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，

∴∠F=∠DEG，

∴BF∥DE，

∴四邊形BDEF為平行四邊形；

（2）解：∵∠C=45°，

∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，

∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，

∴BF=BE= BD= ，

作FM⊥BD于M，連接DF，如圖所示：

則△BFM是等腰直角三角形，

∴FM=BM= BF=1，

∴DM=3，

在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF= = ，

即D，F兩點間的距離為 ．

【解析】（1）要證四邊形BDEF為平行四邊形由已知EG∥BC，須證BF∥DE，可利用等腰三角形的性質先證四邊形CDEG是平行四邊形，得出∠DEG=∠C，再通過轉化證出BF∥DE；（2）要求DF距離須把DF放在直角三角形中，因此需過F作BD的垂線構造直角三角形，可證出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由BD求出DE，進而求出BF、MF，由勾股定理求出DF.
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．