Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線經過坐標原點O，點A（6，﹣6），且以y軸為對稱軸．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，過點B（0，﹣）作x軸的平行線l，點C在直線l上，點D在y軸左側的拋物線上，連接DB，以點D為圓心，以DB為半徑畫圓，⊙D與x軸相交于點M，N（點M在點N的左側），連接CN，當MN=CN時，求銳角∠MNC的度數；

（3）如圖3，在（2）的條件下，平移直線CN經過點A，與拋物線相交于另一點E，過點A作x軸的平行線m，過點（﹣3，0）作y軸的平行線n，直線m與直線n相交于點S，點R在直線n上，點P在EA的延長線上，連接SP，以SP為邊向上作等邊△SPQ，連接RQ，PR，若∠QRS=60°，線段PR的中點K恰好落在拋物線上，求Q點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2；

（2）∠CNF=30°．

（3）點Q的坐標為（，）．

【解析】

試題分析：（1）設過坐標原點O，點A（6，﹣6），且以y軸為對稱軸的拋物線為y=ax2，點A代入求出a即可．

（2）如圖2中，作CF⊥MN于F，設⊙D與x軸的交點為（x，0），D（m，﹣ m2），根據半徑相等列出方程，求出M、N坐標，推出MN=2，在Rt△CFN中，由CN=2CF推出∠FNC=30°即可解決問題．

（3）如圖3中，由題意可知平移直線CN經過點A的直線的解析式為y=x﹣8，記直線y=x﹣8與直線x=﹣3的交點為G，則G（﹣3，﹣9），由△SQR≌△PSH，推出SR=PG，RQ=SG，推出RQ=SG=3，作DQ⊥n于D，記n與x軸的交點為M，則RM=b，由S（﹣3，﹣6），推出MS=6，可得P（6+b， b﹣6），再求出PR中點k坐標，證明k在直線y=﹣上運動，由消去y得到x2+6x﹣27=0，x=3或﹣9（舍棄），x=3，代入x=+b得到b=2，由此即可解決問題．

試題解析：（1）設過坐標原點O，點A（6，﹣6），且以y軸為對稱軸的拋物線為y=ax2，

則﹣6=36a，

∴a=﹣，

∴y=﹣x2．

（2）如圖2中，作CF⊥MN于F，設⊙D與x軸的交點為（x，0），D（m，﹣ m2）．

則有（x﹣m）2+（m2）2=m2+（﹣m2+）2，

整理得x2﹣2mx+m2﹣3=0，

∴x=m+或m﹣，

∴N（m+，0），M（m﹣，0）

∴MN=2，

在Rt△CFN中，∵∠CFN=90°，CN=MN=2，CF=，

∴CN=2CF，

∴∠CNF=30°．

（3）如圖3中，

由題意可知平移直線CN經過點A的直線的解析式為y=x﹣8，

記直線y=x﹣8與直線x=﹣3的交點為G，則G（﹣3，﹣9），

∵m∥x軸，且過點A（6，﹣6），

∴S（﹣3，﹣6），

∴SG=3，AS=9，

∴tan∠2==，

∴∠2=60°，

∴∠1=30°，

∵∠QRS=60°

∴∠QRS=∠2，

∵∠RSQ+∠QSP=∠2+∠SPG，∠QSP=∠2=60°，

∴∠3=∠4，

在△SQR和△PSG中，

，

∴△SQR≌△PSH

∴SR=PG，RQ=SG，

∴RQ=SG=3，作DQ⊥n于D，

∴QRD=60°，

∴DQ=DR=RQ=，

∴RD=QR=，

∵n是過（﹣3，0）與y軸平行的直線，設R（﹣3，b），記n與x軸的交點為M，則RM=b，

∵S（﹣3，﹣6），

∴MS=6，

∴SR=RM+MS=b+6=PG，作PH⊥n于H，

∵∠2=60°，

∴GH=PG=（b+6），

∴MH=MG﹣HG=9﹣（b+6）=6﹣b，

∴P（6+b， b﹣6），

∵K是PR中點，

∴K（+b， b﹣3），

為了方便，記K（x，y），即x=+b，y=b﹣3，消去b得y=x﹣，

∴中點K在直線y=﹣上運動，

由消去y得到x2+6x﹣27=0，

∴x=3或﹣9（舍棄），

∴x=3，代入x=+b得到b=2，

∴RM=2，DM=RM﹣RD=2﹣=，

∵﹣3=，

∴點Q的坐標為（， ）．