Question

【題目】在一張矩形紙片中，，，現將這張紙片按下列圖示方法折疊，請解決下列問題：

（1）如圖①，折痕為，點的對應點在上，求證：四邊形是正方形；

（2）如圖②，、分別為、的中點，把矩形紙片沿著剪開，變成兩張矩形紙片，將兩張紙片任意疊合后（如圖③），判斷重疊四邊形的形狀，并證明；

（3）在（2）中，重疊四邊形的周長是否存在最大值或最小值？若存在，請求出最大值或最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）菱形，證明見解析；（3）最小值12cm；最大值20cm.

【解析】

（1）根據有一組鄰邊相等的矩形是正方形判定即可；

（2）根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定即可；

（3）根據垂線段最短和角與正弦值的關系判定即可.

解:（1）∵四邊形是矩形，

∴

由折疊的性質可知，，.

∴四邊形是正方形；

（2）重疊四邊形是菱形

證明：如圖①，

∵剪開的兩個紙片都是矩形，則重疊四邊形的對邊互相平行，

∴四邊形是平行四邊形.

圖①

過作于點，于點，

又∵，.

∴，

∴四邊形是菱形

（3）根據垂線段最短，故當兩個矩形紙片互相垂直放置時（如圖②），這個菱形的周長最小為.

根據其中HN為定值，當∠HPN越小，PN就越大，故當兩個矩形紙片按如圖③所示放置時，重疊部分的菱形周長最大.

圖② 圖③

設，則.

在中，，

解得.

則這個菱形的周長最大為.