Question

【題目】如圖1，若四邊形ABCD、GFED都是正方形，顯然圖中有AG＝CE，AG⊥CE．

（1）當正方形GFED繞D旋轉到如圖2的位置時，AG＝CE是否成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；

（2）當正方形GFED繞D旋轉到B，D，G在一條直線（如圖3）上時，連結CE，設CE分別交AG、AD于P、H．

①求證：AG⊥CE；

②如果，AD＝2，DG＝，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）AG＝CE成立；（2）①詳見解析；②5

【解析】

（1）利用正方形性質以及全等三角形的判定的很粗△AGD≌△CED（SAS）即可得出答案；

（2）①根據（1）得出∠1＝∠2，再利用∠3＝∠4，∠4+∠2＝90°，可得出∠3+∠1＝90°，進而得出答案；

②利用等腰直角三角形的性質可得出MD＝MG＝ ，進而利用勾股定理求出CE的長．

（1）解：AG＝CE成立．

理由：∵四邊形ABCD、四邊形DEFG是正方形，

∴GD＝DE，AD＝DC，

∠GDE＝∠ADC＝90°，

∴∠GDA＝90°﹣∠ADE＝∠EDC，

在△AGD和△CED中，

∴△AGD≌△CED（SAS），

∴AG＝CE；

（2）證明：①由（1）可知△AGD≌△CED，

∴∠1＝∠2，

∵∠3＝∠4，∠4+∠2＝90°，

∴∠3+∠1＝90°，

∴∠APH＝90°，

∴AG⊥CH；

②解：過G作GM⊥AD于M．

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴∠ADB＝∠GDM＝45°，

∴∠DGM＝45°，

∵DG＝，

∴MD＝MG＝，

在Rt△AMG中，由勾股定理，得

∴CE＝AG＝5．