Question

如圖，已知A、B兩點的坐標分別為(2

3

，0)、（0，2），P是△AOB外接圓上的一點，且∠AOP=45°，則點P的坐標為______．

Answer 1

∵OB=2，OA=2

3

，
∴AB=

OA2+OB2

=4，
∵∠AOP=45°，
P點橫縱坐標相等，可設為a，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直徑，
∴Rt△AOB外接圓的圓心為AB中點，坐標C（

3

，1），
P點在圓上，P點到圓心的距離為圓的半徑2．
過點C作CF∥OA，過點P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-1，CF=a-

3

，PC=2，
∴（a-

3

）²+（a-1）²=2²，舍去不合適的根，
可得a=1+

3

，P（1+

3

，1+

3

）；
∵P與P′關于圓心（

3

，1）對稱，
∴P′（

3

-1，1-

3

）．
故答案為：（

3

+1，

3

+1）或（

3

-1，1-

3

）