Question

已知如圖1，點P是正方形ABCD的BC邊上一動點，AP交對角線BD于點E，過點B作BQ⊥AP于G點，交對角線AC于F，交邊CD于Q點．
（1）小聰在研究圖形時發現圖中除等腰直角三角形外，還有幾對三角形全等．請你寫出其中三對全等三角形，并選擇其中一對全等三角形證明；
（2）小明在研究過程中連接PE，提出猜想：在點P運動過程中，是否存在∠APB=∠CPF？若存在，點P應滿足何條件并說明理由；若不存在，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）△ABP和△BCQ，根據∠QBC和∠BAP都是∠BPG的余角，因此∠BAP=∠QBC，AB=BC，由此可得出△ABP和△BCQ，△ABE和△BFC，因為AB=BC，∠BAMP=∠QBC，∠ABE=∠BCF=45°，因此兩三角形全等△BPE和△CEQ全等，根據第一對全等的三角形可得出BP=CQ，根據第二對全等的三角形可得出BE=CF，又知道∠EBP=∠ECQ=45°，根據SAS即可判定兩三角形全等；
（2）（1）中已經得出了BE=CF，而∠EBP=∠FCP=45°，如果∠EPB=∠CPF，那么三角形BEP和CFP就全等，那么BP=PC，因此要使∠APB=∠CPF，那么P就應該是BC的中點．
解答：解：（1）△ABP≌△BCQ，△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△BEP≌△CFQ，△ACP≌△BDQ；（從中任寫出三對全等三角形）
如證明△ABP≌△BCQ，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCQ=90°，
∵BQ⊥AP，
∴∠BAP=∠CBQ，
∴△ABP≌△BCQ；

（2）當點P為BC的中點，∠AFB=∠CFP．
∵BP=CP，BP=CQ，
∴CP=CQ，
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵CF=CF，
∴△CFP≌△CFQ，
∴∠CPF=∠CQF，
∵∠CQF=∠APB，
∴∠APB=∠CPF．
點評：開放性試題，解答本題要充分利用正方形的特殊性質，同時考查了全等三角形的判定和性質．