Question

【題目】如圖1，折疊矩形，具體操作：①點為邊上一點（不與、重合），把沿所在的直線折疊，點的對稱點為點；②過點對折，折痕所在的直線交于點、點的對稱點為點．

（1）求證：∽．

（2）若，．

①點在移動的過程中，求的最大值．

②如圖2，若點恰在直線上，連接，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①的最大值為；②

【解析】

（1）由矩形和折疊的性質可知，然后通過得出，則可證明結論；

（2）設，則,根據相似三角形的性質有，進而可表示出DG的長度，然后利用二次函數的性質求最大值即可；

（3）連接DH，設，則,先通過勾股定理求出CF,CE，進而在中，利用勾股定理求出x的值，進而可求DE,DG,EG的長度，然后利用求出DM的長度，最后利用即可求解．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴ ．

由折疊的性質可知， ，，

又∵，

∴．

又∵，

∴，

∴．

又∵，

∴∽；

（2）①設，則,

由（1）知：∽

∴，

∴（），

故當時，取到最大值為；

②連接DH，

設，則,

由折疊的性質可知，BF=AB=3，BC=5，

在中，

，

∴．

在中，

∵，

∴，

解得，

∴DE=4．

由①知：，

∴．

∵垂直平分DH，

∴DH=2DM，

又∵，

∴，

∴．