Question

【題目】如圖，∠AOB＝30°，M，N分別是OA，OB上的定點，P，Q分別是邊OB，OA上的動點，如果記∠AMP＝，∠ONQ＝，當MP＋PQ＋QN最小時，則與的數量關系是_________________.

Answer 1

【答案】α－β＝90°

【解析】

分別作點M,N關于OB,OA的對稱點,連接，交OA于點Q,交OB于點P時MP＋PQ＋QN有最小值.通過三角形的內角和與外角和性質可得出， 從而得出兩者間的關系.

解：如圖，作M關于OB的對稱點M′，N關于OA的對稱點N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，

易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，
∵∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，

∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，
∴．

∵，

∴

故答案為：.