Question

【題目】如圖，經過點A（0，﹣4）的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于點B（﹣1，0）和C，O為坐標原點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將拋物線y=x2+bx+c向上平移7個單位長度，再向左平移m（m＞0）個單位長度，得到新拋物線，若新拋物線的頂點P在△ABC內，求m的取值范圍；

（3）將x軸下方的拋物線圖象關于x軸對稱，得到新的函數圖象C，若直線y=x+k與圖象C始終有3個交點，求滿足條件的k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4（2）＜m＜（3）1或

【解析】試題分析：

（1）將A、B兩點坐標代入即可解出的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）將（1）中所得解析式配方，結合已知條件可得平移所得新拋物線的解析式及其頂點坐標；由A、B、C三點的坐標可求得直線AB、AC的解析式，由頂點分別落在AB和AC上可求得對應的“m”的值，即可得到“m”的取值范圍；

（3）如圖1，當直線和新的函數圖象C有三個公共點時，直線分別處于圖中的位置上；①由過點B，可求得此時“m”的值；②當直線處以的位置時，由圖可知，此時直線和新的函數圖象C在的范圍內有1個公共點，由“一元二次方程根的判別式”可求得此時“m”的值；兩者綜合即可得到本題答案.

試題解析：

（1）∵經過點A（0，﹣4）的拋物線與x軸相交于點B（﹣1，0），

∴ ，解得： ，

∴ 拋物線解析式為；

（2）由（1）知，拋物線解析式為，

∴此拋物線向上平移7個單位長度、再向左平移m（m＞0）個單位長度后，所得新拋物線的解析式為： ，

∴新拋物線的頂點P的坐標為，

對于拋物線當時，有 ，由此解得=﹣1或8，

∴C的坐標為（8，0），

又∵A（0，﹣4），B（﹣1，0），

∴可解得直線AB的解析式為y=﹣4x﹣4，直線AC的解析式為y=x﹣4，

由此可得：

①當頂點P在AB上時，可得： ，解得m=，

②當頂點P在AC上時，可得： ，解得m=，

∴綜合①②可得，當點P在△ABC內時m的取值范圍是： ；

（3）翻折后所得新圖象如圖1所示．

當直線和新圖象C（其中翻折所得部分為）有三個公共點時，直線分別處在圖中的位置上：

①當直線l位于l1時，此時直線過點B（﹣1，0），

∴0=﹣1+k，解得：k=1；

②∵當直線l位于l2時，此時直線與函數的圖象有一個公共點，

∴方程，即有兩個相等實根．

∴△=25﹣4（2k﹣8）=0，即k=．

綜上所述，k的值為1或．