Question

【題目】如圖1，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（3，0）、B，動點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A立即停止．點(diǎn)C（﹣1，0），以P為直角頂點(diǎn)，PC為直角邊向x軸上方作等腰Rt△PQC，△PQC與△AOB重疊部分面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為t（秒），S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0≤t≤,≤t≤3時(shí)，函數(shù)解析式不同）．

（1）當(dāng)t＝時(shí)，S的值為　 　；

（2）求直線AB的解析式；

（3）求S關(guān)于t的解析式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝﹣x+4；（3）．

【解析】

（1）由圖2可知：當(dāng)t＝時(shí)，Q在AB上，畫圖1，根據(jù)面積差可得結(jié)論；

（2）先根據(jù)平行相似計(jì)算OB的長，得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得結(jié)論；

（3）分兩種情況：0≤t≤，≤t≤3時(shí)，分別根據(jù)面積差可得對應(yīng)解析式．

解：（1）當(dāng)Q在AB上時(shí)，如圖1，

由題意得：OP＝，OC＝1，

∴PC＝PQ＝1+＝，

∵△PQC和△COD都是等腰直角三角形，

∴S＝S△PCQ﹣S△COD＝ ﹣ 11＝，

故答案為：；

（2）∵A（3，0），

∴OA＝3，

∴AP＝3﹣＝，

∵PQ∥OB，

∴△AQP∽△ABO，

∴，

∴，OB＝4，

∴B（0，4），

設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b，

把A（3，0）、B（0，4）代入得：，

解得：，

∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+4；

（3）由題意得：OP＝t，

當(dāng)0≤t≤時(shí)，如圖2，

△PQC與△AOB重疊部分是梯形ODQP，

S＝S△PCQ﹣S△COD＝(t+1)2-×1×1=t2+t；

當(dāng)≤t≤3時(shí)，如圖3，

△PQC與△AOB重疊部分是五邊形ODEFP，

∵OP＝t，AP＝PF＝3﹣t，

∴FQ＝t+1﹣（3﹣t）＝2t﹣2，

∵∠Q＝∠EFQ＝∠AFP＝45°，

∴∠FEQ＝90°，

∴EQ＝EF＝，

S＝S△PCQ﹣S△COD﹣S△EFQ＝t2+t﹣＝﹣+3t﹣1；

綜上，S關(guān)于t的解析式為：．