Question

【題目】如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點E，AE=2，ED=4，

（1）求證：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的長；
（3）延長DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1））證明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C（等邊對等角），

∵∠C=∠D（同弧所對的圓周角相等），

∴∠ABC=∠D（等量代換），

又∵∠BAE=∠DAB，

∴△ABE∽△ADB，

（2）解：∵△ABE∽△ADB，

∴ ，

∴AB2=ADAE=（AE+ED）AE=（2+4）×2=12，

∴AB=2 ．

（3）解：直線FA與⊙O相切，理由如下：

連接OA，∵BD為⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°，

∴ =4

BF=BO= ，

∵AB=2 ，

∴BF=BO=AB，

∴∠OAF=90°，

∴OA⊥AF，

∵AO是圓的半徑，

∴直線FA與⊙O相切．

【解析】（1）根據AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代換可得∠ABC=∠D然后即可證明△ABE∽△ADB．（2）根據△ABE∽△ADB，利用其對應邊成比例，將已知數值代入即可求得AB的長．（3）連接OA，根據BD為⊙O的直徑可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求證∠OAF=90°即可．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和圓周角定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．