Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，且，．給出如下定義：若平面上存在一點P，使是以線段為斜邊的直角三角形，則稱點P為點A、點B的“直角點”．

（1）已知點A的坐標為．

①若點B的坐標為，在點、和中，是點A、點B的“直角點”的是_________；

②點B在x軸的正半軸上，且，當直線上存在點A、點B的“直角點”時，求b的取值范圍；

（2）的半徑為r，點為點、點的“直角點”，若使得與有交點，直接寫出半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，；②；（2）

【解析】

（1）①利用兩點間的距離公式分別求得各線段平方的值，再根據勾股定理的逆定理判斷即可；

②首先判斷點A、B的“直角點”在以點C為圓心，的長為半徑的上，分類求得直線與相切時，的值，即可求解；

（2）根據“直角點”的定義求得點F的坐標，根據點E、F與的位置關系，利用勾股定理即可求解．

（1）① ∵，

，，

∵，

∴，不是點A、點B的“直角點”；

，，

∵，

∴，是點A、點B的“直角點”；

，，

∵，

∴，是點A、點B的“直角點”；

故答案為：，；

②∵，

∴線段的中點，

∴點A、B的“直角點”在以點C為圓心，的長為半徑的上，

∴當直線與相切于點D，與兩坐標軸相交于點M、N時，如圖：

令，則，令，則，

∴，

∴∠OMN=45，CD=，

∴，

∴；

當直線與相切于點E時，如圖：

同理：，

∴，

即；

綜上所述：；

（2）根據“直角點”的定義知：點F的坐標為(，2)，

∵，

，，

∵，

∴，

解得：，

∴點F的坐標為(，2)，

∴，

，

，

∴若使得與有交點，直接寫出半徑r的取值范圍為：；